Графики функций Gi и Hi Функции Скорера (присоединённые функции Эйри ) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году[1] уравнения Эйри :
w
″
−
z
w
=
1
π
{\displaystyle w''-zw={\frac {1}{\pi }}}
Частными решениями этого уравнения являются функции:
−
G
i
(
z
)
{\displaystyle -\mathrm {Gi} (z)}
H
i
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Hi} (z)}
H
i
(
z
e
∓
2
π
i
3
)
e
∓
2
π
i
3
{\displaystyle \mathrm {Hi} (ze^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}})e^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}}}
Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы:
G
i
(
z
)
=
−
1
π
∫
0
∞
exp
(
−
t
3
3
−
z
t
2
)
cos
(
3
2
z
t
+
2
π
3
)
d
t
,
H
i
(
z
)
=
1
π
∫
0
∞
exp
(
−
t
3
3
+
z
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}-{\frac {zt}{2}}\right)\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}zt+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+zt\right)\,dt.\end{aligned}}}
Для действительного аргумента:
G
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
sin
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
,
H
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
exp
(
−
t
3
3
+
x
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.\end{aligned}}}
Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:
G
i
(
z
)
=
B
i
(
z
)
∫
z
∞
A
i
(
t
)
d
t
+
A
i
(
z
)
∫
0
z
B
i
(
t
)
d
t
,
H
i
(
z
)
=
B
i
(
z
)
∫
−
∞
z
A
i
(
t
)
d
t
−
A
i
(
z
)
∫
−
∞
z
B
i
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{z}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (z)\int _{0}^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}
Откуда, очевидно:
G
i
(
z
)
+
H
i
(
z
)
=
B
i
(
z
)
.
{\displaystyle \mathrm {Gi} (z)+\mathrm {Hi} (z)=\mathrm {Bi} (z).}
Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид:
G
i
(
z
)
=
3
−
2
3
π
∑
k
=
0
∞
cos
(
2
k
−
1
3
π
)
Γ
(
k
+
1
3
)
3
k
3
z
k
k
!
,
H
i
(
z
)
=
3
−
2
3
π
∑
k
=
0
∞
Γ
(
k
+
1
3
)
3
k
3
z
k
k
!
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\cos \left({\frac {2k-1}{3}}\pi \right)\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}},\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}}.\end{aligned}}}
